逛知乎看书发现了一些有趣的结论。
没有时间去研究背后的学科分野,但还是得做点笔记才能不会忘记啊w
大概覆盖面……初/高等数学、离散数学方向的吧……
还有一些高中各科的……嗯……姑且称作是技巧方面的工具吧。
说不定还有解析图论之类的黑科技呢x


离散数学

Theorem 1.1 最小链覆盖=最长反链
Theorem 1.2 (Sperner's) 有限集的子集族中两两不包含的子集族的个数是 $ {n} \choose {\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} $
1、2的推论是两两包含的最小覆盖数的个数也是可以求的。

他学科技巧

自动配平基

Definition 2.1 矩阵$ \mathbf A $的零空间(null space)指$$ ker(\mathbf A)=\\{ \mathbf x \in \mathbb C^n : \mathbf A\mathbf x=\mathbf 0 \\} $$
一个例子是高斯消元中系数矩阵与值向量构成的增广矩阵即是此处 $ \mathbf A $ ,解即为 $ \mathbf x $.
但这里毋需方阵,即允许存在自由变量。

Example 2.1 离子、化学方程式的配平。已知生成物和产物,将各粒子作为各列,各元素和电子作为各行,每个矩阵元素表示粒子中各元素的个数,由元素守恒定律和电子守恒定律易得该矩阵零空间即为化学式/离子式中的各项系数。自由变量即为催化剂。
来看这张表,这是酸环境下高锰酸根与亚硫酸根发生反应:

$$ \begin{array}{c|cccccc} n & \text{MnO}\_4^- & \text{SO}\_3^{2-} & \text{H}^+ & \text{Mn}^{2+} & \text{SO}\_4^{2-} & \text{H}\_2\text{O} \\\\ \hline \text{Mn} & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ \text{O} & 4 & 3 & 0 & 0 & 4 & 1 \\\\ \text{S} & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ \text{H} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\\\ \text{e}^-& -1 & -2 & 1 & 2 & -2 & 0 \\\\ \end{array} $$

零空间为$ \mathbf x=k (2, 5, 6, -2, -5, -3)^T $,即
$$ 2\text{MnO}\_4^- + 5\text{SO}\_3^{2-} + 6\text{H}^+ = 2\text{Mn}^{2+} + 5\text{SO}\_{4}^{2-} + 3\text{H}\_{2}\text{O} $$
继续考虑反应物为$ \text{C}, \text{O}\_{2} $ ,生成物为 $ \text{CO}, \text{CO}\_{2 }$ 的反应:

$$ \begin{array}{c|cccc} n & \text{C} & \text{O}\_{2} & \text{CO} & \text{CO}\_{2} \\\\ \hline \text{C} & 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ \text{O} & 0 & 2 & 1 & 2 \\\\ \end{array} $$

解得$ \mathbf x={{k_1(-1, -1, 0, 1)} \choose {k_2(-2, -1, 2, 0)}}^T $.我们知道这个反应物有两种可能,一种只生成$ \text{CO} $,一种只生成$ \text{CO}_2 $,剩下的就是二者的线性组合;而零空间可以帮我们直接分解好线性基的这两个部分。

Example 2.2 物理公式的推算。给描述某物理过程的若干物理量,求该过程某个未知物理量的表达式。物理量一多不知道怎么推的话我们回想从单位入手……将各物理量单位作为列,国际标准单位作为行就和配平一样了……
已知$ t, r, p, \rho $,求 $ E $。

$$ \begin{array}{c|ccccc} n & E(J) & t(s) & r(m) & P(Pa) & \rho(g/m^3) \\\\ \hline L(m) & 2 & 0 & 1 & -1 & -3 \\\\ M(g) & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ T(s) & -2 & 1 & 0 & -2 & 0 \\\\ \end{array} $$

解得$ \mathbf x=(^{k_1(-1, -2, 5, 0, 1)}_{k_2(-1, 0, 3, 1, 0)})^T $.多出来一组基说明条件给多了……看着用就可以了……

以上为待定系数法使用线性代数观点以及各学科归一化式子的一般化结果。是不是看起来比起以前的办法简单呢?但是首先,你得会手算零空间……
用程序实现也特别简单,名字就叫 自动配平基!
参考了这个知乎答案.

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