2017年4月

看很多人都被数列折磨的很惨,但实际上这个时候缺少的应该是一个高观点的领悟。
这种领悟可是做多少归纳都难以企及的。所以我来造福一下大众。

数列教程

基本定义

数列是一列数按顺序的排列,分别记作 $ a_1, a_2, \cdots, a_n $,一般简写为 $ \\{ a_n \\} $。
数列可以看作定义域在正整数的离散函数。

事实上,数列与函数之关系将会是我们认识连续量与离散量的第一步。后续我们将进一步探讨他们的关系及各自的性质。

通项公式是一个式子用来给出数列中任意项 $ a_i $ 关于 $ i $ 的关系的式子,即 $ a_i = f(i) $。由形式上可以轻易看出在函数中它被称为解析式

在不混淆的情况下,下面将不对数列定义域在正整数的函数做更多的区分。

上面是高中课本出现的术语,接下来将不限于此。

进一步的定义

差分是对数列相邻两项做差得到的新数列,即 $ b_i=\Delta a_i=a_{i}-a_{i-1} $。
求和/累和/和分/前缀和是数列的前若干项的和,即 $ a_i=\Sigma b_i = \Sigma_{i=1}^n b_i $。
注意变化后定义域带来的变化。

解数列是指给出原数列各项满足的关系,需要由这些关系得到原数列的通项公式。若这个关系中含有数列的其他项,则这个形式被称为差分方程(离散)/递归方程(离散/连续)/迭代方程(离散/连续) / 函数方程(连续)
事实上连续的定义均可被离散套用,上面只是注明语言上的偏好。

解数列

高中研究的内容。

情形1 $ a_n=a_{n-1}+p, a_1=a $

易知 $ a_n=(n-1)p+a $。

情形2 $ a_n=pa_{n-1}, a_1=a $

易知 $ a_n=ap^{n-1} $。

情形3 $ a_n = pa_{n-1}+q, a_1=a $

考虑待定系数转为形式1或形式2,有$ a_n-r=s(a_{n-1}-r) $,易得$ s=p, sr+r=q $